Как применять правила Кирхгофа для разветвленных цепей
Содержание
Правила Кирхгофа, иначе называемые законами Кирхгофа, представляют собой зависимости между параметрами электроцепей, в частности, между электронапряжениями и электротоками. Наименование «правила» более корректно, чем «законы», поскольку они основываются на фундаментальных законах физики. В отличие от закона Ома, который определяет взаимосвязь между напряжением, током и сопротивлением линейного участка электроцепи, правила Кирхгофа справедливы не только для простых, но и для разветвленных электроцепей любой степени сложности.
Общие положения
Правила Кирхгофа для разветвленных цепей наиболее широко применяются в теоретических расчетах. Система простых линейных математических уравнений, составляемых на основании правил, позволяет с максимальной точностью найти все параметры электроцепи в любых ветвях и между любыми узлами — точные значения электротоков и электронапряжений.
Правила касаются основных элементов электроцепи — узла, ветви и контура. Ветвь — это участок электроцепи, расположенный между двумя узлами. Электроток в ветви одинаков на всем ее протяжении. Узел лежит на соединении трех и более ветвей. Контур — замкнутый путь, на протяжении которого электроток последовательно проходит через какое-либо количество ветвей и узлов. Количество контуров зависит от сложности рассматриваемой электроцепи. Ветви и узлы могут относиться сразу к нескольким контурам.
Существует два правила. Первое правило Кирхгофа позволяет определять значения электротоков, а второе — электронапряжений. Из первого вытекает, что сумма электротоков, выходящих из узла, в точности равна сумме электротоков, которые входят в этот же узел. Если сказать точнее, то алгебраическое суммирование электротоков всех ветвей в узле дает результат, равный нулю. Запомнить закон поможет простая аналогия. Следует представить озеро, в которое втекает и вытекает несколько рек. Чтобы уровень воды в озере был постоянным, количество поступающей воды и вытекающей должно быть одинаковым.
Рассмотрим электросхему, представленную на рисунке ниже, а конкретно на ней — узел С. В него входят электротоки I3 и I5, а выходит — I4.
На основании первого правила можно записать
Второе правило Кирхгофа касается источников электронапряжений, входящих в контур. Алгебраическая сумма их ЭДС в точности равна алгебраической сумме падений электронапряженйя на всех элементах контура. Из этого можно сделать вывод, что при отсутствии источников ЭДС в контуре сумма падений электронапряжения на элементах рассматриваемого контура равняется нулю.
Суммирование должно производиться строго в выбранном направлении обхода. Для первого контура на приведенном выше рисунке можно записать:
Следует заметить, что при рассмотрении вырожденного контура, состоящего из одной ветви, правило Кирхгофа для электронапряжений становится идентичным закону Ома для участка электроцепи.
Применение правил в электроцепях с переменным электротоком
Рассматриваемые правила справедливы не только для разветвленной цепи постоянного тока. Их можно использовать для определения параметров любых электроцепей, в том числе и нелинейных. В последнем случае критерием использования служит допуск на погрешность вычислений. То есть, если определенный элемент электроцепи в пределах какого-либо выбранного значения электротока или электронапряжения можно характеризовать как линейный, то, расчеты будут иметь справедливый характер, если их результаты не выходят за пределы допустимых значений.
Вычисления параметров электроцепи для переменного электротока усложняются тем, что в расчетах используются методы комплексной математики, которые учитывают не только реальные значения электротока, электронапряжения и электросопротивления, но и сдвиг фаз между ними.
Применение правил для расчета параметров электроцепи
Чтобы рассчитать точные значения электронапряжения на элементах и электротоков в ветвях, нужно обозначить узлы, выделить контуры и направления их обхода. Направление электротока в ветвях выбирается произвольно. После получения реальных значений направления можно скорректировать, следуя простому правилу: если полученное значение положительное, значит, выбранное направление совпадает с реальным, если отрицательное, направление нужно сменить на противоположное.
Далее составляется система линейных уравнений, состоящая из:
- узловых уравнений для электротоков всех узлов. Их составляют, руководствуясь первым правилом Кирхгофа;
- контурных уравнений для каждого контура электроцепи. При их составлении используется второе правило.
Если выбранное количество уравнений является избыточным, то некоторые из них (самые «неудобные») удаляются согласно таким правилам:
- Количество узловых уравнений берется на единицу меньше количества узлов. То есть, если в электроцепи р узлов, то количество узловых уравнений должно равняться р – 1.
- Количество контурных уравнений при количестве ветвей m равно m – (p – 1).
- Падение электронапряжения на элементе требуется считать положительным, если оно совпадает с направлением обхода контура и отрицательным в ином случае.
- Составляя уравнения на основании второго правила, желательно учитывать, что в каждое уравнение системы должна входить хотя бы одна ветвь, не принадлежащая иным контурам.
В качестве примера составим уравнения для схемы, изображенной на рисунке ниже.
На схеме можно выделить шесть ветвей и четыре узла. Следовательно, количество узловых уравнений — три, контурных также три.
Поскольку неизвестных электротоков шесть, то системы из шести уравнений абсолютно достаточно для решения.
Данная методика применения правил Кирхгофа используется при расчете электроцепей по методу контурных электротоков, который считается наиболее простым и может формулироваться также в матричном виде для математического анализа.
Загрузка...
