Изучаем закон Био-Савара-Лапласа

Одним из величайших достижений науки о природе 19 века является доказательство непосредственной связи между электрическим и магнитным полем. Считается, что полным описанием их взаимодействия являются уравнения Максвелла. Закон Жана-Батиста Био и Феликса Савара можно рассматривать как одно из их следствий, но он был открыт намного раньше.

История открытия закона

Электрическое и магнитное поле сначала рассматривали отдельно. Экспериментально установил факт порождения электрическим током магнитного поля датский учёный Ханс Кристиан Эрстед в 1820 году. Публичная демонстрация этого эффекта показала, что под воздействием электрического тока происходит отклонение магнитной стрелки. Открытия Эрстеда послужили основанием для исследований, проводимых Био и Саваром. Последние постарались выявить математические закономерности рассматриваемой зависимости.

Жан-Батист Био был профессором физики в Сорбонне. Узнав о достижениях Эрстеда, он с помощью коллеги Феликса Савара стал проверять воздействие проводников на различные разновидности магнитных стрелок. В итоге была найдена математически выраженная закономерность зависимости.

Формулировка закона

При описании эффектов необходимо разбить проводник, через который проходит ток, на элементарные участки, имеющие минимальную длину. Каждый из них создаёт магнитное поле. Воздействие всех участков необходимо просуммировать, чтобы узнать силу воздействия поля в конкретной точке. Это правило называется принципом суперпозиции.

Закон утверждает, что магнитное поле прямо пропорционально длине прямолинейного участка провода и силе тока, а также обратно пропорционально расстоянию до рассматриваемой точки. Оно направлено перпендикулярно электрическому току и направлению от проводника к точке измерения.

Направленность поля можно определить по правилу правой руки. Если указательный палец направлен также как сила тока, средний палец направлен на точку, где определяется магнитное поле, то большой палец, поставленный перпендикулярно к указательному и среднему, показывает направление магнитного поля.

Формула, связывающая эти величины, представлена на рисунке ниже.

Чтобы определить, какое магнитное поле создаёт весь проводник, проводится суммирование влияния каждого участка. В отдельных случаях могут быть получены относительно простые формулы, в других для получения результата нужно разбираться в методах дифференциального и интегрального исчисления.

В качестве примера можно привести формулу для кругового тока.

Для прямого тока эта формула будет выражена следующим образом:

При вычислениях надо помнить, что dl, dB и B являются векторными величинами. В первом случае величина элемента тока равна длине участка, а направление совпадает с тем, которое имеет проходящий по нему ток. Направление dB определяется по правилу правой руки, а величина — по приведённой формуле. B представляет векторную сумму всех имеющихся dB.

Закон Био-Савара и уравнения Максвелла

Экспериментально подтвержденный закон в формулировке Био-Савара был важным этапом в познании электромагнитных полей. В частности, на их основе Максвелл разработал свои уравнения, описывающие такие поля. Впоследствии была сделана математическая формулировка закона на основании этих уравнений.

Однако надо отметить, что вычисления Максвелла более сложные по сравнению с тем, как их трактует закон о магнитном поле Био-Савара. Формулировка Максвелла с учётом того, что электрическое поле постоянно, выглядит таким образом:

Эта формула может быть применена к контуру произвольной сложности. Если сила тока I является постоянной величиной, то его можно вынести за знак интеграла. В формуле использованы знаки умножения в смысле векторной операции. Если в качестве точки отсчёта будет использована точка, где происходит определение напряжённости электромагнитного поля, то формула может быть упрощена и будет выглядеть таким образом.

Особенности вычислений

При рассмотрении закона Био-Савара речь идёт о бесконечно малых проводниках. Точную их длину указать нельзя. Известно только то, что она настолько мала, что участок можно считать прямолинейным.

Ещё одно предположение состоит в том, что речь идёт об очень тонких проводах. Это означает, что их толщина пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от точки измерения.

Фактически вычисления основаны на том, что для малых и тонких проводников задача относительно простая, но если сложить их влияние, то будет получена точная величина магнитного поля в нужной точке.

В приведённых рассуждениях предполагалось, что для простых случаев линии напряжённости являются концентрическими окружностями. Если среда неоднородная, то магнитная проницаемость в различных точках может отличаться, что сделает форму силовых линий более сложной.

Закон в формулировке Био-Савара позволяет определить характеристики магнитного поля постоянного тока для практически любой конфигурации контура. Этот закон также носит имя Лапласа.

Био и Савар предприняли тщательные экспериментальные исследования рассматриваемого вопроса и предложили формулу для вычисления в некоторых относительно простых случаях. Лаплас обобщил полученные результаты. Он предложил использовать принцип суперпозиции и бесконечно малые участки провода для описания свойств сложных контуров. Фактически закон является плодом усилий этих трёх известных учёных, поэтому его полное название — закон Био-Савара-Лапласа.

При этом нужно учитывать, что Лаплас фактически был одним из создателей дифференциального и интегрального исчисления, принципы которого он использовал для углублённого изучения рассматриваемого закона.

Видео по теме