Что такое комплексные числа в электротехнике

Комплексные числа применяются в электротехнике для расчёта электрических цепей переменного и постоянного тока. Причём как для упрощения расчётов, так и как единственный способ расчёта. Они позволяют заменить графические векторные решения на привычные нам алгебраические.

Долгое время математики считали, что корень из отрицательного числа лишён смысла, хотя отрицательный корень уже появлялся в квадратных уравнениях. Пока в середине XVI века итальянец Кардано при попытке решить кубические уравнения не применил мнимые числа в качестве промежуточных звеньев при вычислениях. Он ввёл правило, которое можно увидеть ниже:

Но только через 300 лет началось использование комплексных чисел в науке и технике. Старт применению комплексных чисел в электротехнике положил доклад знаменитого электротехника Штейнмеца на Международном конгрессе по электротехнике в г. Чикаго (1893 г.)

Синусоидальный ток

В основном применение таких чисел касается цепей переменного тока, то есть тока, меняющегося по направлению и величине. Наиболее распространённая его форма — синусоидальная. Представление синусоидальных электровеличин является основой символического метода, изучаемого в ТОЭ (“Теоретических основах электротехники”).

Почему используется в основном синусоидальный ток

Можно выделить две основные причины:

• Первая — при прохождении через различные участки электроцепи ток либо умножается на константу, либо интегрируется или дифференцируется, проходя соответственно через активное сопротивление, емкостной элемент и индуктивный элемент. Чтобы не производить множество таких операций при расчёте цепи, применяют ток, форма которого неизменна на всех её участках.
• Вторая — ток легче генерируется в машинах, в которых проводящие элементы вращаются. И в таком случае вырабатываемый ток становится периодическим.

Только синусоидальная функция подходит к двум указанным выше причинам одновременно, она как периодически, так и постоянно воспроизводится в многочисленных интегрально-дифференциальных операциях.

Поэтому при использовании синусоидальной функции с комплексными числами формула будет выглядеть так:

a(t)=A_m*sin(ωt+φ)

В данным выражении A_m, φ и ω — определенные константы, которые определяют вид выражения в зависимости от того, какой комплексный показатель надо вычислить (напряжение, ток, эдс и тд).

Символический метод

Синусоидальные функции (напряжения, тока, э.д.с., и др.) делают большинство расчётов чрезвычайно громоздкими. Для упрощения расчётов их выражают через векторы либо комплексные числа. Последние рассматриваются как символы. Потому и метод называется символическим.

Символический подход был развит в теории колебаний, а введён в России в применении к переменным токам академиком Миткевичем. В этой дисциплине через комплексные числа представлены как электрические величины, так и зависимости между ними. Это в первую очередь относится к законам Кирхгофа и Ома. Уже только это объясняет необходимость применения комплексных чисел в электротехнике. В настоящее время с комплексными числами легко работать благодаря наличию компьютеров.

Поскольку в электротехнике буква ἱ издавна обозначает мгновенные токи, то обозначение мнимой единицы в электротехнике делается при помощи буквы j.

Основные положения символического подхода

Графически любое комплексное число изображают точкой с абсциссой на действительной оси и ординатой на мнимой. Либо радиус-вектором этой точки, как на схеме ниже.

Действительная часть: а=|α|*cos(arg α) =Re[α],

Мнимая часть: b=|α|*sin(arg α)=Im[α],

где: |α|=√(а²+b²) — длина вектора;

arg α — главный аргумент числа α, угол между вектором и действительной осью.

Синусоидальная функция времени(СФВ)

Как уже говорилось ранее в статье, данная функция имеет вид:

а(t) = A_m*sin(ωt + φ),

в которой константы A_m, ω и φ означают следующее:

• A_m — мгновенная амплитуда, является максимумом изменяющейся периодически величины. Мгновенная и амплитудная величины равняется друг другу, когда синус становится равным 1;
• ω — угловая частота/угловая скорость, показывает угол поворота величины за единицу времени;
• φ — начальная фаза, равна значению величины при t =0.

Также важно для понимания и использования СФВ следующее:

• T — период, минимальное время полного цикла (повторяющегося) изменения величины; за период величина совершает поворот на 360⁰;
• f — частота, обратная периоду величина f=1/T; она равна количеству периодов за единицу времени;
• ωt+φ — фаза/фазовый угол.

При расчёте электроцепей именно с СФВ производятся операции, которые подразумевают, что во время суммирования у этих функций частота одинакова, а вот амплитуды же и начальные фазы разные.

Формы записи вектора

Не рассматривая полярную форму, выделим 3 основные:

• алгебраическая: ἱ_m=а +j*b;
• тригонометрическая: ἱ=I_m*(cosφ _ἱ+j*sinφ _ἱ);
• показательная: ἱ=I_m*e^jφἱ._.

На простом примере можно убедиться в простоте использования комплексных чисел.

Пример №1.

Надо сложить два тока ἱ₁ =2*sin(ωt+30^о) и ἱ₂=sin(ωt) в цепи переменного тока:

Поскольку разность фаз составляет 30⁰, то графически это сложение будет выглядеть так:

Получается, что суммарный ток будет равен:

ἱ=2*sin(ωt+30^о)+sin(ωt).

Обычное сложение токов, как двух тригонометрических функций, потребует довольно много шагов, например, использования формулы суммы углов, метода введения дополнительного угла, применения тригонометрических формул и 15 строк вычислений.

После того как потратим кучу времени и проведем все эти сложные многоэтажные вычисления, получим такое выражение:

ἱ≈2.91*sin(ωt+20^о).

Посмотрим, как решается эта задача в комплексных числах. Используем 3 формы записи:

ἱ₁=2*sin(ωt+30^о)=2*e^j30 =1.732+j;

ἱ₂=sin(ωt)=e^j0 =1.

Далее просто сложим токи:

ἱ =ἱ₁+ἱ₂=1+1.732+j=2.732+j≈2.91e²⁰≈2.91*sin(ωt + 20^о).

Проверка действий на векторной диаграмме:

При сложении СФВ происходит сложение комплексных векторов на векторных диаграммах. Кроме единой частоты, условием такого сложения или вычитания является единый масштаб электрических величин.

Например, если надо найти разность токов ἱ₁ и ἱ₂ заданных при помощи синусоидальной функции с комплексными числами, то это легко достигается с помощью векторной диаграммы:

При этом последовательно производятся следующие действия:

1. Задаётся общий масштаб токов.
2. Из формул токов определяются комплексные амплитуды токов.
3. Соответствующие им вектора строятся на диаграмме.
4. Амплитуда суммарного тока есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах двух амплитуд.
5. Её длину можно замерить линейкой, а транспортиром — начальную фазу суммарного тока (87⁰).

Складывать можно только одинаковые электрические величины (их вектора).

Некоторые свойства СФВ

Дифференцирование и интегрирование комплексной функции времени можно заменить, соответственно, делением и умножением на ω*j=ω*e^jπ/2, что означает поворот на 90⁰.

Умножение и деление — это нелинейные алгебраические операции, и они не позволяют применять символический метод, так как приводят к возникновению и других дополнительных частот, кроме обозначенного ранее ω.

Важное понятие в электротехнике — мгновенная мощность. Она представляет собой как раз умножение двух СФВ: тока и напряжения. Чтобы выразить её в комплексных числах используют специальный приём. Он заключается в том, что:

1) Перемножение двух СФВ u(t)=U_m*sin(ωt+φ), а также ἱ(t)=I_m*sin(ωt+φ) приводит к разности двух тригонометрических многочленов. Их называют активной и реактивной составляющими мгновенной мощности. Саму мгновенную мощность при этом выражают суммой этих составляющих: p(t)=p_r(t)+p_q(t).

2) Нужная величина (средняя мощность, обозначение P_ср) получается интегрированием мгновенной мощности p(t) и разбивается на интеграл от суммы двух составляющих, а значит на сумму двух интегралов, каждый из которых несложно вычисляется: P_ср=I*U*cosφ=P. В данном выражении P — активная мощность.

Комплексные числа и сопротивления

В мощности СФВ напряжения и тока перемножаются. В сопротивлении напряжение и ток делятся, что также является нелинейной операцией.

На схеме ниже приводится упрощённая цепь переменного тока с активным r и индуктивным x_L сопротивлениями, а также их взаимосвязи с общим сопротивлением Z. На схеме емкостное сопротивление не приведено:

Сами активное и индуктивное сопротивления не являются синусоидальными функциями, в вот общее сопротивление Z в данном варианте является такой функцией. При этом r и x_L образуют соответственно действительную и мнимую оси. Выражение для общего сопротивления:

Z=r+j*x_L=z*(cosφ+j*sinφ)=ze^jφ.

Подводя итоги

Комплексные числа и электротехника тесно взаимосвязаны, сначала на теоретическом уровне (расчёт электроцепей), а потом уже и на практическом (промышленное использование). За счет них значительно упрощаются расчёты, которые довольно легко сейчас позволяют выполнить компьютеры. Для чайников данные понятия будут не совсем понятными, так как комплексные числа на данный момент одна из самых сложных вещей в математике. Без мнимых чисел и минимально необходимого набора формул в данном случае не обойтись.

Видео по теме