Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме
Содержание
Уравнения Джеймса Клерка Максвелла описывают пространственные и временные взаимодействия между полями электрического и магнитного происхождения. Они были разработаны в середине девятнадцатого века и стали основой теории электромагнетизма. Законы, выраженные с помощью уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме, оказали глубокое влияние на развитие технологий — от создания радио и телевидения до разработки передового медицинского оборудования.
Суть теории Максвелла
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — это четыре фундаментальных математических выражений, описывающих все, что мы знаем о полях, известных под названиями электрических и магнитных. История их формулировки довольно длинная и все же полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля появилась на свет в 1861 году. Электромагнитная теория Джеймса Максвелла — это своеобразный итог интенсивных исследований в области электричества и магнетизма, проводившихся в первой половине девятнадцатого века. Она является теоретическим обобщением экспериментальных законов Ампера, Кулона, Фарадея и других ученых.
Основные положения теории Максвелла описывают электромагнитные явления, существующие в любой среде или в вакууме. Особенно большое влияние на ученого оказали работы М. Фарадея. Он считал, что его постулаты — это математическое выражение идей и экспериментальных исследований Фарадея.
Теория Максвелла для электромагнитного поля по своей значимости соизмерима с законами Ньютона для классической динамики. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в связывании параметров, характеризирующих электромагнитное поле вместе с его источниками — рассредоточенными в пространстве электрическими зарядами и токами. Основными среди них считают напряженность и индукцию каждого из полей, то есть, этих параметров четыре: Е, Н, D и В. Первые два — это напряженность электрического и магнитного полей, D и В — соответственно индукция. Формулы электромагнитной теории Максвелла определяют эти характеристики как функции времени и координат при известном пространственном и временном распределении источников полей.
Дифференциальная запись системы
Уравнения Максвелла существуют в интегральной и дифференциальной форме. Первые описывают распределение полей электрической и магнитной природы через их производные. Согласно теории Максвелла, представленной в таких двух формах, векторы Е, В, D, Н — это функции тех физических явлений, которые считаются источниками полей. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид, представленный на рисунке ниже. Буква j обозначает такое понятие, как плотность электрического тока, а ρ — объемная плотность электрического заряда.
Первая формула Максвелловской системы
Первое системное уравнение Максвелла выражает закон Фарадея, физический смысл которого в том, что под влиянием изменяющегося магнитного поля образуется поле электрической природы, способное индуцировать электрический ток в цепи.
Второе уравнение
Входящая в основы теории Максвелла для электромагнитного поля вторая формула отображает закон Гаусса, но представленный в дифференциальном виде для поля магнитной природы.
Данной формулой подтверждается гипотеза Максвелла, что поток поля магнитной природы сквозь какой-либо замкнутый контур всегда будет нулевым, а если говорить более простыми словами, то это звучит так — в природе не бывает одиночных магнитных зарядов.
Третье выражение
В этом уравнении отражается закон Ампера. Его физический смысл в том, что поле магнитной природы возникает при движении зарядов, а его сила пропорциональна величине тока, проходящего через провод.
Максвелл предложил ввести в формулу для амперского закона дополнение (1/c2)·∂E/∂t. В итоге было сформулировано математическое равенство, названное теоремой о циркуляции магнитного поля.
Максвеллом дополнение (1/c2)·∂E/∂t было названо током смещения. Такой ток может появиться лишь в диэлектрике, поскольку в проводнике электрическое поле отсутствует, следовательно, оно не имеет возможности меняться.
Четвертая формула
Последнее уравнение или постулат Максвелла — это еще один закон Гаусса в дифференциальном представлении. Оно входит в основы теории Максвелла для электромагнитного поля в следующем виде:
Суть закона Гаусса в том, что электрические поля создаются зарядами и зависят от них. Другими словами, чем больше зарядов присутствует в данной области, тем сильнее будет электрическое поле.
Интегральная запись законов Максвелла
Можно представить уравнения Максвелла в интегральной форме, если применить к дифференциальным равенствам теорему Грина и формулу Остроградского-Гаусса.
С целью замыкания максвелловской системы в нее было введено еще три уравнения, получивших название материальных. С их помощью связываются соотношения между векторами основных характеристик полей. Вид этих равенств определяется состояниями среды и ее свойствами.
На основании системы максвелловских уравнений можно сделать вывод, что для образования электрического поля необходимы электрические заряды или изменяющиеся во времени поля магнитной природы. Последние могут возникнуть при наличии движущихся зарядов или переменного поля электрической природы. Существование стационарного электрического поля связано исключительно с зарядами, а стационарного магнитного — с токами проводимости.
Теория электромагнитного поля Джеймса Максвелла доказывает неразрывную взаимосвязь между переменными полями электрического и магнитного происхождения, благодаря которой образуется единое электромагнитное поле. Эту взаимосвязь отображает второе уравнение из системы Максвелла в интегральной форме.
Важность свойств максвелловских равенств
Свойства уравнений Максвелла заключаются, прежде всего, в их линейности, на основании которой проявляется принцип суперпозиции. То есть, если 2 каких-то поля подчиняются максвелловской системе равенств, то это будет свойственно и их сумме.
Поскольку природных магнитных зарядов не существует (есть только полюса), то равенства Максвелла не являются симметричными. Но они считаются релятивистки инвариантными. Следовательно, вид данных равенств при переходе из одной инерциальной системы в другую остается неизменным. Однако преобразуются параметры, входящие в них. Причем изменения данных величин происходят по определенным правилам.
Уравнения Максвелла невозможно решить, не задав граничные условия, то есть, расположение в пространстве зарядов, токов и поверхностей. Поскольку данные уравнения описывают поведение электромагнитных полей, в том числе и на границах между различными средами, то граничные условия включают в себя:
- Условие непрерывности поля электрической природы: на границе между двумя средами должна сохраняться непрерывность электрического поля, т. е. компоненты электрического поля вдоль границы должны быть одинаковыми.
- Условие непрерывности поля магнитной природы: на границе между двумя средами также должна сохраняться непрерывность магнитного поля, т. е. компоненты магнитного поля вдоль границы должны быть одинаковыми.
- Условие тангенциальности электрического поля: компоненты электрического поля, которые лежат в плоскости границы между двумя средами, должны быть непрерывны, но могут изменяться величиной и направлением. Однако, компоненты, перпендикулярные границе, должны быть непрерывны.
- Условие тангенциальности магнитного поля: компоненты магнитного поля, которые лежат в плоскости границы между двумя средами, должны быть непрерывны, но могут изменяться величиной и направлением. Однако, компоненты, перпендикулярные границе, должны быть непрерывны.
- Условие соотношения между электрическим и магнитным полями: электрическое и магнитное поля должны быть связаны друг с другом на границе между двумя средами с помощью так называемых граничных условий Максвелла. Это условие может быть разным в зависимости от конкретной задачи.
Граничные условия для уравнений Максвелла играют важную роль в решении многих задач из сферы электромагнетизма и электродинамики.
Электромагнитная теория света
До Максвелла к свету относились как к физическому явлению, совершенно отдельному от магнетизма и электричества. После его исследований стали считать, что свет излучается электромагнитными волнами. На основании своих уравнений ученый сделал очень важное открытие о самостоятельном существовании электромагнитного поля, не требующем ни зарядов, ни токов. При таком существовании поля изменяются волнообразно, поэтому они были названы электромагнитными волнами.
Электромагнитная теория света, сформулированная Максвеллом, доказывает, что свет — это тоже электромагнитные волны. Наличие электромагнитных волн в природе было экспериментально подтверждено Г. Герцем в 1888 году. В ходе своих исследований он также доказал, что скорость распространения электромагнитных волн соответствует скорости света.
Классическая электродинамика, основанная на системе максвелловских уравнений, играет важную роль при изучении электромагнетизма и физики в целом, а также имеет множество практических применений в повседневной жизни. На ее основе было создано множество приложений радио- и электротехники, оптики и СВЧ. На законы Максвелла опираются при разработке электродвигателей, генераторов, трансформаторов и прочего электротехнического оборудования.
(голосов: 3, средняя оценка: 4,00 из 5)
Загрузка...
