Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходный процесс в электрической цепи — это период времени, за который один режим в электроцепи сменяется на другой благодаря внутренним воздействиям. При изучении ТОЭ (расшифровывается как теоретические основы электротехники) обычно говорят, что переходный процесс — это переход координат, связанных между собой временем и местом в пространстве, в динамической системе.

Режимы в электрической цепи

Длительность переходного процесса

Любое изменение, способствующее возникновению переходного режима в цепи, называют коммутацией. То есть, коммутация — это изменение параметров электросети за бесконечно малый промежуток времени. В качестве нее могут выступать:

• включение или выключение источника питания с помощью ключей, переключателей;
• короткое замыкание;
• обрывания в сети;
• выключение или подключение приемников и др.

В компонентах электроцепи запасается энергия. Главные причины возникновения переходных процессов заключаются в том, что последняя не может за один скачок, то есть бесконечно маленький отрезок времени, перейти из одного состояния в другое. Для этого понадобился бы бесконечно сильный источник энергии, какового в природе не существует.

Особенности переходного процесса

Время переходного процесса всегда разное. Все зависит от электроцепи. В реальных условиях длительность переходного процесса составляет миллисекунды и крайне редко проходит границу в одну секунду. Хотя в теоретических цепях продолжительность может достигать и нескольких десятков тысяч лет.

Еще одна важная характеристика любого переходного процесса — постоянная времени. Так называют показатель времени, затрачиваемого на то, чтобы конденсатор разрядился или зарядился на 63.2% от подаваемого напряжения. Единица измерения — секунды. Для определения постоянной времени используют формулы:

Формулы постоянной времени

Теоретически переходный режим может длиться бесконечно долго, но в реальных условиях считают, что он завершается при t = (3…4) τ.

Значение переходных режимов на практике

Несмотря на то, что время переходного процесса обычно очень мало, данный показатель играет большую роль на практике. Например, в приборах для изменения импульсных сигналов переходные процессы играют огромную роль, так как длительность последних соизмерима с длительностью импульсов.

Благодаря существованию переходных режимов форма импульса меняется, когда последний проходит через линейные электрические цепи. При конструировании механизмов, которые работают без вмешательства человека, период перехода энергии от одного состояния в другое также необходимо учитывать. Ведь по ТАУ (теории автоматического управления) режимы в электрической цепи постоянно меняются.

Но существуют приборы, для работы которых существование переходного режима нежелательно. Чтобы их контролировать, показатель необходимо рассчитывать. Иначе значение тока и напряжения выйдут далеко за рамки допустимых. Особенно актуально это в цепях с высокой индуктивностью и емкостью.

При анализе переходных процессов следует учитывать зависимости токов и напряжений для различных элементов цепи.

Зависимости токов и напряжений

Классический метод расчета

Чтобы определить параметры любого переходного процесса по классическому методу, нужно составить интегрально-дифференцированное уравнение для мгновенных значений токов и напряжений.

Мгновенное значение тока показывает количество тока в цепи в определенный момент времени. В формулах обозначается буквой i. Мгновенное значение напряжения показывает величину напряжения в сети в определенный момент времени. Обозначается строчной буквой u или e.

Связь мгновенных значений

Интегрально-дифференцированные уравнения составляют, беря за основу законы коммутации Кирхгофа, методы контурных токов, а также узловые напряжения. Могут включать зависимые и независимые переменные. Для удобства при составлении уравнений используют независимую переменную, относительно которой работают дальше. Последнюю обозначают iL или u_C.

В общем случае уравнение для расчета переходного процесса в цепи, состоящей из n независимых накопителей энергии, выглядит так:

Уравнение переходного процесса

Решение данного уравнения выражается в виде суммы, одним слагаемым которой является частное решение исходного неоднородного уравнения, а вторым — общее решение однородного уравнения, получаемого из исходного за счет приравнивания левой части к нулю.

Общая формула

Частное решение Х_ПР зависит от вида функции, расположенной в его правой части f(t), поэтому получило название принужденной составляющей. Второе слагаемое Х_СВ соответствует режиму, не зависящему от внешних (принуждающих) сил, то есть, влияние источников энергии проявляется лишь через энергию, накопленную в конденсаторах и катушках индуктивности. Такой режим работы называют свободным, а переменную Х_СВ — свободной составляющей.

Следовательно, послекоммутационный процесс при использовании классического метода расчета рассматривают как наложение двух режимов — принужденного и свободного. Первый наступает сразу после коммутации, а второй наблюдается на протяжении переходного процесса. Классический способ анализа применим лишь для линейных цепей.

Метод переменных состояния

Переходные процессы в электрических цепях анализируются с помощью метода переменных состояния. Расчеты осуществляются с использованием компьютеров. Весь переходный процесс рассматривают как траекторию в m-мерном пространстве с начальным временем t = 0 и окончательным значением t = ∞. С помощью этого способа анализируют линейные и нелинейные цепи, а также цепи с переменными параметрами. Достоинства метода переменных состояния — простота, удобство и наглядность.

Законы коммутации Кирхгофа

Коммутации происходят за бесконечно маленький промежуток времени, то есть, мгновенно. Момент, когда происходит коммутация, обозначают как t(0), то есть, t = 0, промежуток времени до начала процесса — t(0_—), то есть, t = 0_—, а после — t(0₊), то есть, t = 0₊. Графически можно изобразить так:

Графическое изображение переходного процесса

Переход энергии не может происходить мгновенно. На этом и основываются переходные процессы. Из этого вытекают 2 закона коммутации.

Формулировка первого закона коммутации: в любой электрической цепи токи до момента коммутации и после равны, так как ток не может измениться мгновенно, то есть, скачком. Соответственно, его формула выглядит так:

Формула первого закона коммутации

Формулировка второго закона коммутации: в любой электрической цепи значение напряжения до коммутации и после равны, так как напряжение не может измениться мгновенно, то есть, скачком. Соответственно, формула имеет следующий вид:

Формула второго закона

Особенности переходных процессов в линейных электроцепях

Линейное дифференциальное уравнение — это такое уравнение, в котором переменные (иксы) стоят в первой степени. Его частью всегда является производная функции. В линейное уравнение может входить и сама функция, и независимая переменная.

Линейная цепь — это электрическая цепь, все элементы которой линейные. К последним относят те компоненты, которые можно описать линейными дифференциальными уравнениями. Например, идеализированные источники, конденсаторы, индуктивные катушки, резисторы. Порядок построения элементов может быть различным.

Пример электрической цепи

Переходные процессы в линейных электрических цепях обычно появляются из-за возникновения нового режима и свободного процесса. Именно благодаря им, переходные процессы в линейных цепях возможны. Значение тока переходного режима можно вычислить, суммировав значения токов этих двух процессов. Соответственно, формула следующая:

Определение тока для переходного режима

Виды переходных процессов различают в зависимости от того, в какой цепи те протекают.

Переходные процессы в цепях первого порядка

Цепи первого порядка — электроцепи, среди компонентов которых есть один реактивный. Последним может быть емкость либо индуктивность. Электроцепь по отношению к ее реактивному компоненту выступает как резистивный активный двухполюсник. Переходные процессы в цепях первого порядка можно описать дифференциальными уравнениями.

Иерархия электрических цепей

Характер переходного процесса определяется тем, какие элементы будут находиться в цепи. Наиболее известными примерами цепей первого порядка являются RC- и LC-цепи. Рассмотрим, как проходят переходные процессы в них.

Переходные процессы в RC-цепях

RC-цепь — это электроцепь, элементами которой выступают конденсатор, сопротивление, источник энергии. В ней могут протекать лишь непериодические процессы. Так как между пластинами конденсатора находится диэлектрик, он может заряжаться и разряжаться, но не пропускать через себя постоянный электрический ток. Конденсатор либо полностью блокирует прохождение тока, либо никак на него не действует.

В цепи, представленной на рисунке ниже, постоянный ток не будет течь, так как конденсатор зарядится до напряжения UС  = E. Поступившее напряжение и собственная электродвижущая сила (ЭДС) источника компенсируют друг друга. За счет этого ток не сможет проходить через резистор.

Пример RC-цепи

В следующей схеме ток, напротив, будет течь. Вспомним формулу I = E/(R1 + R2). Напряжения в конденсаторе и резисторе равны. Из этого следует, что U_С = IR₂ = ER2 / (R1 + R2). Конденсатор зарядится до напряжения UС, но как-либо воздействовать на ток не будет.

Теперь рассмотрим схему, где одним из элементов цепи выступает электрический ключ. Когда последний замкнется, то есть, случится коммутация, начнется переходный процесс в данной RC-цепи. Вспомнив второй закон коммутации, можно сделать вывод, какая будет характеристика этого переходного процесса.

Цепь с электрическим ключом

В момент, когда ключ только замкнется, напряжение в конденсаторе будет нулевым. В этот отрезок времени величину тока можно вычислить по формуле: I(0) = E/R

Этим током будет заряжаться конденсатор. По мере поступления электричества в последний напряжение начнет падать, противодействуя напряжению источника электродвижущей силы.

Переходные процессы в LC-цепях

LC-цепь — это электрическая цепь, элементами которой выступают катушка индуктивности и емкость. Она не имеет активного сопротивления. За счет этого в LC-цепях могут происходить электрические колебания. Их достигают путем сообщения начального заряда конденсатору или возбуждения тока индуктивности.

Допустим, мы составили цепь из катушки и конденсатора. Последний заряжен и после коммутации разряжается. Из-за этого начинает течь электрический ток, возникает магнитное поле. Его энергия растет, а энергия электрического поля, напротив, уменьшается.

Пример LC-цепи

Активное сопротивление нулевое, энергия никуда не уходит. Электроэнергия превращается в магнитную и наоборот. Когда напряжения нет, магнитная энергия и ток имеют максимальные значения. Потом значение тока уменьшается, а напряжения увеличивается. Таким образом цикл повторяется бесконечное количество раз.

Критический переходный режим

Апериодический переходный процесс — это переходный процесс, при котором значение тока i не меняет свой знак. Его возникновение возможно при условии R > 2√L/C.

Колебательный переходный процесс — это переходный процесс, при котором изменения тока i соответствуют затухающему синусоидальному закону. Колебательный переходный процесс возможен при условии R < 2√L/c.

Критический переходный процесс — это переходный режим, являющийся пограничным между апериодическим и колебательным режимами. Характеристики критического переходного процесса наиболее удобны в использовании. Он протекает быстрее других, поэтому более эффективен на практике. В электротехнике чаще пытаются достичь именно этого режима.

Переходные процессы могут сопровождаться большими перенапряжениями, электромагнитными колебаниями, сверхтоками, в результате чего возможны перебои в работе устройств вплоть до их выхода из строя. Но с другой стороны, характеристики данных процессов позволяют находить им полезное применение, например, в электронных генераторах. В связи с этим и возникает необходимость изучения и анализа режимов работы электроцепи.

Видео по теме