Закон полного тока для магнитного поля

Поскольку электрические и магнитные поля связаны между собой важно не только понимать их взаимодействие, но и знать, каким законам оно подчиняется. Одним из них является закон полного электрического тока.

Определение полного тока

При протекании электротока вокруг проводников образуется электромагнитное поле. Его направление определяется правилом буравчика. Если смотреть с того направления, к которому течёт ток, то силовые линии магнитного поля направлены по окружностям в соответствии с вращением буравчика.

Мысленно магнитное поле можно представить в виде плоскости, ограниченной контуром какой-либо замкнутой фигуры. В пределах этой плоскости напряженность магнитного поля распределяется в соответствии с направлениями токов. При этом полный электрический ток будет представлять собой векторную сумму всех токов, пронзающих воображаемый контур:

Данная формулировка представляет собой упрощенную модель рассматриваемого закона. На самом деле происходит более сложное взаимное влияние магнитного и электрического полей. Для описания этих процессов используются интегральные и дифференциальные уравнения Максвелла.

При расчете магнитной цепи используется закон о циркуляции вектора напряженности, который считается одним из основных и формулируется так:

Интегральная формула полного тока

Чтобы сформулировать закон, нужно представить замкнутый контур, внутри которого расположены один или несколько проводов, по которым проходит электроток. Контур может иметь произвольную форму, но он должен быть замкнутым. Чтобы произвести вычисления, необходимо разбить кривую на элементарные участки, которые настолько малы, что их с минимальной погрешностью можно считать прямыми отрезками.

В таком случае по правилу буравчика можно определить направление напряжённости магнитного поля, создаваемого каждым проводником на каждом элементарном отрезке. Чтобы получить суммарный результат, потребуется провести интегрирование по контуру.

Интегральная формула для закона полного тока выглядит следующим образом:

С учетом выражения

формулу можно записать так:

Она представляет собой постулат, подтвержденный экспериментально. Согласно ему циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна μ₀I, где μ₀ — это магнитная постоянная.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции основывается на законе Био-Савара и принципе суперпозиции магнитного поля. В общем виде она имеет такую формулировку:

Для произвольного тока (распределенного в пространстве) справедливо следующее равенство:

С учетом данного равенства формула полного тока в вакууме приобретает следующий вид:

В левой части применяется интегрирование по контуру вектора магнитной индукции. В правой части рассматривается сумма токов, проходящих внутри контура, умноженная на магнитную постоянную.

Взаимодействие электротоков и магнитных потоков зависит от той среды, в которой они пребывают. Кроме того, разные вещества обладают разной магнитной проницаемостью. С учетом этого закон полного тока для магнитного поля в веществе выражается такой формулой:

Дифференциальная формула

Чтобы получить дифференциальную формулу, следует вместо интегрирования по контуру L использовать интегрирование по площади S. Необходимо также воспользоваться теоремой Стокса для векторного анализа:

Объединив это уравнение с формулой полного тока, получим следующее выражение:

С учетом того, что интегралы в левой и правой частях равны, выражение приобретает следующий вид:

Данное выражение — это формула закона полного тока в дифференциальной форме.

Значение закона полного тока

Он применяется для расчёта магнитных цепей. Обычно его используют вместе с законом Био-Савара-Лапласа. Это позволяет решать следующие задачи:

• Расчёт электродвигателей, использующих постоянный ток.
• Вычисление параметров катушек с тороидальными сердечниками.
• Определение параметров однофазных и трёхфазных трансформаторов.
• Определение характеристик аналоговых измерительных приборов.
• Расчёт электромагнитов, которые применяются в различных системах для механического воздействия. Это относится, например, к некоторым системам очистки, к определённым разновидностям подъёмных механизмов.
• Расчёт электрических реле.

Знание законов взаимодействия электрического и магнитного полей позволяет точно рассчитать необходимые рабочие параметры магнитной цепи, обеспечив высокое качество работы различных устройств.

Видео по теме