Представление закона Ома и законов Кирхгофа в комплексной форме

Электрические цепи переменного тока — это линейные цепи, которые подвергаются воздействию гармонических колебаний. Благодаря этому в таких электроцепях сигнал имеет синусоидальную форму. Чтобы проанализировать и рассчитать данные электрические схемы и цепи с сигналом в виде синусоиды, нужно иметь определенные знания и навыки применения законов Ома.

Чтобы более подробно узнать и понять, почему и для чего применяют, а также используют правило Ома, необходимо будет разобраться, что такое метод комплексных амплитуд, разность начальных фаз, а также гармонические воздействия. Обо всем об этом будет рассказано далее в этом материале.

Символьный метод

Отличия между обычной и комплексной формой заключаются в том, что в последнем варианте значения всех параметров отображаются в виде комплексных амплитуд. Это вполне обосновано для электрических цепей с синусоидальным сигналом, в которых применяются активное (вещественное) и реактивное (мнимое) сопротивления.

Комплексные числа

Метод часто применяют для расчета сложных электрических схем с синусоидальной формой сигнала. Из математики известно, что числа представляются в 3-х формах. Это может быть:

  • Алгебраическая форма (z = x + ¡y);
  • Показательная форма (z = |z|·e¡φ);
  • Тригонометрическая форма (z = |z|·(cosφ + ¡sinφ)).

Где z — комплекс числа, |z| — модуль данного числа, x и y — действительные числа, ¡ — мнимая единица (¡=√-1), φ — начальная фаза.

Гармоническое воздействие

Сигнал в электрической цепи можно представить, как функцию синусоиды.

¯

u(t) = Um·сos(ωt+φ0),

где:

u(t) — мгновенное значение напряжения в конкретную единицу времени t,

Um — максимально отклонившаяся от нуля комплексная амплитуда напряжения (вольт),

ω — угловая частота (рад/с),

φ0 — начальная фаза.

Разность начальных фаз

Если 2 синусоидальных сигнала имеют одинаковую частоту, но разные положения фаз, то такое явление принято называть сдвигом фаз. Такое определение позволит более явно понять законы Ома и Кирхгофа.

Сдвиг фазы

Закон Ома в комплексной форме

Правило Ома, которое было основано на символическом методе, справедливо для линейных электросхем и цепей, в которых есть гармонические электротоки и напряжения.

Полное сопротивление

Полное сопротивление — это отношения комплексных амплитуд напряжений и токов.

Z = Ù/Ì = |z|·e¡φz(ω) = R+¡X.

Сопротивление из выражения представлено в виде суммы активного (вещественного, R) и реактивного (мнимого, X) сопротивлений. В приведенной формуле:

Z — полное сопротивление;

|z| — модуль сопротивления;

φ — начальная фаза.

Применение правила очень удобно для расчета RLC-цепей. Из названия видно, что они включают в себя такие пассивные элементы, как:

  • резистор;
  • индуктивная катушка;
  • емкостной конденсатор.

Поэтому при помощи символьного метода можно рассчитать величины напряжения, силы тока и сопротивления на отдельных участках в установившимся режиме.

Резистивный элемент

Резистивный элемент

На приведенном выше изображении видно, вектор напряжения совпадает с вектором тока, разницы между начальными фазами нет, то есть величина их одинакова.

Резистивный элемент два

φ = φu – φ¡ = 0

Получается, что X = 0, а поэтому Z = R.

Тогда закон Ома для цепи с идеальным резистором в комплексной форме будет иметь вид:

Ù = RÌ,

где:

Ù, Ì — значения комплексных амплитуд напряжения и тока,

R — активное сопротивление.

Индуктивный элемент

Индуктивный элемент

На рисунке выше видно, что разница начальных фаз равна, а вектор напряжения опережает вектор тока на 90 градусов.

Индуктивный элемент два

φ = φu – φ¡ = 90°

Значит активное сопротивление будет равно нулю (R = 0), а реактивное X=ωL.

Следовательно, закон Ома для этой цепи с катушкой индуктивности в комплексной форме примет следующий вид:

Ù = ¡X·Ì = ¡ω·L·Ì

Емкостный элемент

Емкостной элемент

В  цепи с пассивным элементом в виде ёмкости, вектор напряжения отстает по направлению от вектора тока. Потому разница фаз в этом случае составляет –900.

Емкостной элемент 2

φ = φu – φ¡ = –90°

Из этого можно заключить, что реактивное сопротивление X=1/ωC, а R = 0 (активное сопротивление).

Поэтому закон Ома в комплексной форме для электросхемы с емкостью примет вид:

Ù = –¡XÌ = –¡Ì/ωC

1-ый закон Кирхгофа в комплексной форме

Данное правило определяет, что сумма всех электротоков, направленных в любой узел участка цепи, равняется сумме всех электротоков, которые выходят из этого узла.

Для более наглядного понимания этой формулировки, необходимо привести один несложный практичный пример. Есть некоторый узел электрической цепи, в который направлены 2 тока, а 2 других из него выходят.

Первый закон Кирхгофа

Применив первый закон Кирхгофа, получим выражение:

Ì1 + Ì3 = Ì2 + Ì4

Если считать, что токи, выходящие из узла положительные, а входящие отрицательные, то закон примет форму:

–Ì1 + Ì2 – Ì3 + Ì4 = 0

Или в общем виде:

ΣÌ = 0

Выражение означает, что алгебраическая сумма всех мгновенных значений тока равна нулю.

2-ой закон Кирхгофа в комплексной форме

Второе правило Кирхгофа гласит, что для любого контура электрической схемы, алгебраическая сумма комплексов напряжений на пассивных элементах равна сумме комплексных ЭДС, напряжений на источниках тока и напряжений на разрывах контура. Как и в случае с первым законом, для понимания ранее сказанного, приведем еще один небольшой наглядный пример. Дана несложная электрическая RLC-схема с двумя источниками.

Второй закон Кирхгофа

Использовав правило Кирхгофа к данной цепи, получается следующее выражение:

R – ¡XLÌL + (–¡XCC = È – Ù¡ + Ù,

ÙR – ÙL + ÙC = È – Ù¡ + Ù

Второй закон Кирхгофа можно привести к общему виду:

Общий вид 2 закона Кирхгофа в комплексной форме

Подводя итоги

Применение законов Ома и Кирхгофа, в которых напряжения и электротоки представлены в виде комплексных амплитуд, в значительной степени помогают анализировать и рассчитывать параметры цепей с переменным током. Из-за того, что направление синусоидального сигнала постоянно изменяется, формулы расчета для цепей с постоянным током в данном случае применять нецелесообразно.

Также первоочередным преимуществом использования данных законов является то, что применение символьного метода позволяет символьно отобразить множество физических величин. Конечно, на самом деле в электрических цепях отсутствуют мнимые и вещественные характеристики. Их ввели только для удобства расчета и отображения. Но данный метод очень удобен и прост для теоретического расчета цепей.

Второе достоинство законов Ома и Кирхгофа — это возможность избавиться от потребности решения дифференциальных уравнений каждого состояния синусоидального электрического тока.

Видео по теме

Adblock
detector