Разбор теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции
Содержание
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (ТЦВМИ) вдоль произвольного замкнутого контура позволяет выразить циркуляцию вектора магнитной индукции через алгебраическую сумму токов I, которые охватывает данный контур. Автором теоремы является французский учёный А. М. Ампер. Следствием того, что циркуляция не равна нулю, является вихревой характер магнитного поля. Основное свойство линий магнитного поля — замкнутость, то есть, отсутствие начала и конца, что указывает на отсутствие в природе магнитных зарядов. Теорема А. М. Ампера о циркуляции магнитного поля позволяет рассчитать индукцию зная информацию о величинах и направлениях токов.
Что такое циркуляция векторного поля
Математическим определением циркуляции произвольного векторного поля по замкнутому контуру является интеграл (криволинейного типа), взятый по данному контуру.
Физический смысл циркуляции — это работа силы поля при перемещении материальной точки (физического объекта, с которым взаимодействует поле) вдоль кривой. Примером векторных полей могут служить электрическое и магнитное поля.
Понятие о циркуляции и сам термин изначально появился при решении математических моделей в гидродинамике для получения параметров жидкостей, движущихся по замкнутым контурам (каналам). В зависимости от исходного состояния жидкость в канале будет либо в состоянии покоя, либо протекать (циркулировать) по контуру. Характеристикой движения жидкости является величина С, равная:
Для идеальной, несжимаемой жидкости нормальная компонента скорости равна нулю, а жидкость вдоль канала двигается с одинаковой скоростью vт (тангенциальная составляющая скорости u). Тогда циркуляция жидкости представляет собой криволинейный интеграл:
Позднее термин циркуляция стал применяться для описания других векторных полей, где в отличие от жидкости нет материальных элементов, а есть физические, векторные величины, например, магнитная индукция , которую нельзя «увидеть или потрогать».
Магнитное поле
Магнитное поле (МП) — это специфическая форма материи, с помощью которой происходит силовое взаимодействие движущихся частиц, обладающих электрическим зарядом или имеющим магнитный момент. Магнитное поле является одной из составляющих электромагнитного поля, его источниками могут быть:
- Постоянные магниты.
- Магнитные моменты электронов в атомах и молекулах.
- Электрический ток.
- Изменяющееся во времени электрическое поле.
Главная величина, характеризующая магнитное поле — вектор магнитной индукции В. Для математического описания вводится общее понятие векторного поля В = В (x,y,z,t). Кроме индукции для магнитного поля в физике используется еще одна векторная величина H — напряженность. В вакууме величины В и H совпадают, но в среде, обладающей магнитными свойствами, вектор H, теряет физический смысл. Таким образом, главной характеристикой считается магнитная индукция В.
Закон Био-Савара-Лапласа
Первые эксперименты по выявлению закономерностей силового взаимодействия проводников с током были проведены А. М. Ампером, без использования понятия о магнитном поле. Позднее на основании экспериментов французских исследователей Ж. Б. Био, Ф. Савара и П. С. Лапласа появилась формулировка закона, связавшего величину индукции В с токами.
Закон, названный в честь французских ученых, позволяет определять вектор В, зная величину тока I в среде с магнитной проницаемостью μ.
В магнитостатике закон Био-Савара-Лапласа аналогичен закону Кулона для электрического поля. Его часто используют для вычисления магнитного поля, если известно распределение электрических токов. В современном изложении электродинамики закон Био-Савара-Лапласа является следствием уравнений Максвелла для магнитного поля в случае стационарного (постоянного) электрического поля.
Теорема о циркуляции
Впервые теорема о циркуляции была сформулирована А. М. Ампером в 1826 году. Позднее, в 1861 году британский физик Д. Максвелл придал теореме строгую математическую трактовку, используя в качестве аналогии закон циркуляции гидродинамики. На сегодня уравнение теоремы о циркуляции вектора В входит в набор фундаментальных уравнений Максвелла.
Тот факт, что циркуляция вектора магнитной индукции не равна нулю, означает, что магнитное поле является не потенциальным, а вихревым или соленоидальным. Теорема, сформулированная Ампером, верна для частного, магнитостатического случая. Общие математические формулы для магнитостатики выглядят следующим образом:
Данная формула — это интегральная версия теоремы. Кроме того, теорему о циркуляции можно представить в дифференциальном виде:
В левой части уравнения к величине вектора магнитной индукции применяется математическая операция ротора. В общем случае, когда имеется электрическое поле, меняющееся во времени, в уравнении Максвелла добавляются члены в виде dE(t)/dt, отражающие эту динамику.
Напряженность магнитного поля
Для изменяющегося магнитного поля используют еще одну характеристику — напряженность. Ее можно вычислить с помощью формулы:
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля выражается через алгебраическую сумму токов проводимости, охваченных контуром:
Как видим, циркуляция вектора напряженности, как и индукции магнитного поля по замкнутому контуру, отлична от нуля, что является еще одним подтверждением того, что магнитное поле — это вихревое поле.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля имеет такое же значение, что и теорема Гаусса, сформулированная для вектора напряженности электростатического поля.
Применение теоремы
Циркуляция вектора индукции магнитного поля определяется исключительно токами, протекающими по заданному контуру. Это свойство позволяет делать расчеты магнитного поля тел с геометрической симметрией. Например, основываясь на законе полного тока, можно вычислить магнитную индукцию для соленоида.
Внутри соленоида магнитная индукция всюду одинаковая, поэтому магнитное поле внутри соленоида является однородным. Такое свойство поля внутри катушек позволяет использовать их в таких устройствах, как электромагниты, трансформаторы, магнитные датчики и ловушки.
Загрузка...
