Как провести преобразование треугольника в звезду и обратно

Расчёты электрических цепей, проводимые на стадии проектирования или при выполнении ремонтных работ, позволяют определить значения напряжений и величины токов на любых участках цепи. Существует несколько расчётных методов, опирающихся на закон Ома (ЗО) и правила Кирхгофа (ПК). Для упрощения вычислений на отдельных участках схем, имеющих структуру соединений отличную от параллельных или последовательных, часто применяется преобразование из «треугольника» в «звезду» и обратно.

Общие положения

Основным физическим законом, на котором базируются расчёты цепей различного типа сложности, является ЗО. Он был открыт немецким учёным Г. Омом (1789–1854) в 1827 г.

Математическое представление закона Ома

На основании открытия Ома и закона сохранения электрического заряда немецкий исследователь Г. К. Кирхгоф (1824–1887) сформулировал два полезных правила, которым часто присваивают статус законов, хотя это не вполне корректно, так как они являются следствием более фундаментальных явлений. Иногда эти правила называют уравнениями соединений.

Правила Кирхгофа

На основании ПК для любой электрической схемы может быть составлена система математических уравнений, где в качестве неизвестных будут выступать токи I, в ветвях электрической цепи. Предполагается, что сопротивления (нагрузки) R и напряжение источника тока E известны.

Типы соединений в электрических схемах

Основные типы соединений элементов (потребителей) электрических цепей следующие:

• Последовательное.
• Параллельное.
• Смешанное.

Первые два типа представлены на рисунке ниже.

Формулы для токов и напряжений при последовательном и параллельном соединениях

Понятно, что смешанный тип соединения представляет собой комбинацию параллельных и последовательных участков.

Примеры смешанных соединений

Алгоритм расчёта токов на основе ЗО и ПК хорошо работает, когда вся электрическая схема состоит из участков смешанных соединений с разным количеством нагрузок (сопротивлений). Формулы для фрагментов схем, изображённых на рисунках 03 и 04, просты и удобны для анализа схем. Однако, некоторые схемные решения не всегда имеют такой вид. К таковым относятся, например, участки схем в виде треугольника и звезды.

Соединения треугольник и звезда

Видно, что в этих конфигурациях при подключении компонентов не наблюдаются исключительно параллельные или последовательные цепочки. В англоязычной литературе вместо треугольника используется термин «дельта» и обозначение соответствующей греческой буквой Δ, а звезда обозначается английской буквой Y. В таких случаях очень удобным оказывается метод преобразования «электрического» треугольника в звезду (Δ в Y). Соответственно, возможно и обратное преобразование из звезды в эквивалентный ей треугольник (Y в Δ).

От треугольника к звезде

Чаще возникает потребность в преобразовании Δ в Y. Суть замены состоит в том, что потенциалы трёх точек А, В, С и токи, втекающие или вытекающие из них, должны остаться изначальными. Поэтому окружающая цепь не «почувствует» никаких изменений.

Уравнения для преобразований

На рисунке выше приведены формулы, с помощью которых можно осуществить корректный переход (замену) треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду (Δ в Y) или обратно Y в Δ. Для вывода формул составляется система уравнений на основе ПК, где в качестве неизвестных выступают сопротивления R_A, R_B, R_C (случай Δ в Y). Решением системы уравнений будут значения сопротивлений звезды R_A, R_B, R_C, выраженные через значения сопротивлений в треугольнике R_AВ, R_BС, R_АС.

Если звёзды преобразовывают, то это кому-нибудь нужно

В качестве примера применения метода на рисунке ниже приведена мостовая схема с набором сопротивлений R₁, R₂, R₃, R₄, R₅.

Исходная схема

Для сопротивлений А, В, С можно применить, рассматриваемый метод, то есть, преобразование треугольника в эквивалентную звезду (Δ в Y).

Выбор треугольника АВС

С помощью формул вычисляются сопротивления звезды R_A, R_B, R_C.

Вычисление сопротивлений звезды

Таким образом, трансформировав треугольник в звезду, получим схему, изображённую на рисунке ниже.

Схема после преобразования

После подстановки вместо R_A, R_B, R_C их числовых значений, рассчитанных ранее, получается простая, эквивалентная схема, содержащая только последовательные и параллельные цепочки.

Окончательный результат

Заключение

Преобразование треугольник-звезда представляет собой математический алгоритм по замене отдельных участков цепей с помощью эквивалентных сопротивлений с целью упрощения схемы для проведения расчётов с последовательными и/или параллельными комбинациями резисторов. Этот метод, конечно, не является единственно возможным при анализе подобных электрических схем. Задача может решаться «в лоб» с помощью ПК или с привлечением методов контурных токов или узловых потенциалов.

Рассмотренные преобразования часто используют для расчётов мостовых схем, которые находят своё применение при измерении не только сопротивлений, но и ёмкостей и индуктивностей.

Видео по теме